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什么是克莱因瓶 克莱因瓶为什么做不出来

来源:奇闻网 更新时间:2019-10-03 11:03

在数学领域中,克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面,比如二维平面,就没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中,克莱因瓶(Klein Bottle)是一个不可定向的拓扑空间。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 提出。在1882年,著名数学家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。克莱因瓶的结构可表述为:一个瓶子底部有一个洞,现在延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它和球面不同 ,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面,即它没有内外之分。

什么是克莱因瓶

克莱因瓶是一个没有边的曲面,像球面一样封闭,但它却只有一个面。在数学领域,克莱因瓶是指一种无定向性的平面,如二维平面一样没有“内部”和“外部”之分。

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克莱因瓶的结构主要表现为,一个瓶子的底部有一个洞,延长瓶子的颈部,并扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。此外,克莱因瓶和我们日常见到的球面也不同,例如,一只小蜜蜂就可以从瓶子的内部直接飞到瓶子的外部,而不用穿过表面,也就是说,克莱因瓶没有“内面”和“外面”的区别。

观察克莱因瓶的图片,你会发现它的瓶颈和瓶身是相交的,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置,事实真的如此吗?其实,克莱因瓶是一个在四维空间中才能真正表现出来的曲面,也就是说克莱因瓶的瓶颈是先穿过了第四维空间然后才和瓶底圈相连的,并不穿过瓶壁。

莫比乌斯带

把一条纸带的一段扭180°,再和另一端粘起来就得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有莫比乌斯带、一个面的曲面,但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是,它有边(注意,它只有一条边)。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来,你就得到了一个克莱因瓶

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莫比乌斯带

(当然不要忘了,我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合,否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地,如果把一个克莱因瓶适当地剪开来,我们就能得到两条莫比乌斯带。除了我们上面看到的克莱因瓶的模样,还有一种不太为人所知的“8字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同,但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面--克莱因瓶。

实际上,可以说克莱因瓶是一个3°的莫比乌斯带。我们知道,在平面上画一个圆,再在圆内放一样东西,假如在二度空间中将它拿出来,就不得不越过圆周。但在三度空间中,很容易不越过圆周就将其拿出来,放到圆外。将物体的轨迹连同原来的圆投影到二度空间中,就是一个“二维克莱因瓶”,即莫比乌斯带(这里的莫比乌斯带是指拓扑意义上的莫比乌斯带)。再设想一下,在我们的3°空间中,不可能在不打破蛋壳的前提下从鸡蛋中取出蛋黄,但在四度空间里却可以。将蛋黄的轨迹连同蛋壳投影在三度空间中,必然可以看到一个克莱因瓶。

克莱因瓶真的存在吗

准确的说现在市面上出售的克莱因瓶都是切切实实的假货,这一点是毋庸置疑的,因为真正的克莱因瓶是一个四维产物,在三维空间中是看到的只是它的投影,而我们制造出来的则完全是那个投影的1:1复刻,即使做得再精美它也是个缩水货!

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真正的克莱因瓶是长什么样的?

我们很难在三维空间中来描述克莱因瓶特征,不过却可以用假冒货来做个案例,毕竟模型有助于我们理解空间几何结构。

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“克莱因瓶”其实是一个错误的形容方式,原先指得是克莱因平面,它指的是一种无定向的平面,没有内部和外部之分,最早是德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。

在三维空间中的克莱因瓶的“瓶口”穿过自身与瓶底相连,成为一个表面没有终结的结构,从外到内不需要穿过这个瓶子的外壁而直接到“内部”,尽管克莱因瓶没有内外之分,但在我们看来,包裹在内的那部分空间就是瓶子内部了。

在四维空间中,“瓶口”是穿过额外的第四维和底部相连的,它并不需要穿过瓶壁!但这是一个很难想象哦空间,与自身构成了一个没有边界的曲面,但却不会和自身空间交叉,三维中是无法实现的,当然在了解这个结构之前,我们还是得先来理解下维度的概念。

四维空间?

我们并不能确定是否存在四维空间,但用数学来理解空间结构时则完全是另一回事情,从零维到四维,我们可以用一个简单的示意图来表示

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在三维或者之前的维度我们都可以很简单的理解,因为我们所见所得都是三维模式,即使是一张纸,它仍然存在可以测量的厚度,因此它是一种三维物件。但对于四维我们脑子就有点不够用了。

一般我们所说思维的都是欧几里德空间,与广义相对论中闵可夫斯基空间是有区别的,下面我们以欧式四维空间来描述:三维空间存在长宽高三个维度,而四维则三维的每一个长宽高的维度上增加一个长宽高的三维维度,就如下面示意图。

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如果不太好理解的话,我们来感受一下动图转变的过程

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也许我们将三维空间想象成组成四维的一个膜更合适,否则四维空间在三维上的叠加维度会让我们思绪混乱,三维空间只是四维的一个切片,它在四维空间中的只有方向,没有厚度,就像我们三维空间有无数二维平面切片一样。

我们可以用二维平面的方式来想象三维空间,在二维平面中,三维人是上帝一般的存在,可以让二维平面上上的“人”进入三维,然后再在二维的另一位置突然出现,而四维对于三维的操作也是如此,因为我们只能看到本身所在的三维,因此我们会发现三维空间中的某个物体突然消失,却毫无预警的出现在另一个位置,而这只是四维对于三维的基本操作而已。

克莱因瓶在三维中会是怎么样的存在?

可能很难来理解这个结构,但仍然可以用三维在二维中表现作为参考,比如被称为魔比斯环的二维扭曲面,

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对于三维空间中的人类来说,我们可以看到不用回头就遍历了两个面,但这对于二维空间的“生物”来说这是一件不可思议的事情,因为他们不能理解空间被扭曲这一事实,当然对于我们三维空间中的人类来说,我们同样不能理解我们的空间正在通过额外的维度对接到自身的内部。这将是一个超丧的体验,比如:

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依照一般思维理解,假如碰到这种事情,第一反应绝对是见鬼了,走不出的楼梯,很多恐怖小说中的切入点就是这样的,但在四维空间中看来,不过是将这两个空间通过三维之外的维度对接在了一起,是可以清楚的看到的,就像我们在地球上无法想象出地球这个概念,因为我们看到的都是地平线而不是地球线,跳出这个框框到太空,一目了然。

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三维空间里的魔比斯环,就能达到GIF图中见鬼的效果,而三维中的克莱因瓶则能达到你朝着某个方向走,突然发现走到了某个建筑物内部,但你却没有经过门和其他任何窗户,当然你还有可能走不出去,因为你看不到来时的路。但只要不慌,朝着一个方向永不回头又能出来,前提是这个克莱因瓶空间够小,足够你在饿死之前走回入口,但99%的情况下就是慌的一B,结果可想而知。

我们能制造出克莱因瓶吗?

从描述中我们知道了克莱因瓶空间的原理,但我们却无法制造,因为不知道这额外的维度怎么去开启,这跟弯曲空间似乎是另一回事情,因为这是两个不同的概念,即使用超强引力,也只能制造出一个连光都无法逃逸的扭曲空间而已,但这却不是高维空间

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所以我们判定,市面上出售的克莱因瓶不过是个假冒货而已,但这却不是他们的本意,而是根本就生产不出来!

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